Permutasi dan Kombinasi
Permutasi
Di dalam ilmu matematika permutasi
diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi
beberapa urutan berbeda.
Di dalam permutasi, urutan sangat
diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan
yang lain. kita ambil contoh, urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu
juga dengan {BAC) dan {ACB}). Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur
jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah:
Rumus Permutasi
P(n,k) =
n!
(n-k)!
Contoh Permutasi
1. Di
sebuah sekolah ada 4 orang guru yang dicalonkan untuk mengisi posisi bendahara
dan sekertaris. Coba kalian tentukan banyaknya cara yang dapat digunakan untuk
mengisi posisi tersebut!
Pembahasan:
Soal di atas dapat dituliskan
sebagai permutasi P(4,2), n(banyaknya guru) = 4 k (jumlah posisi) = 2
masukkan ke dalam rumus:
P(4,2) = 4!
= 4 x 3 x 2 x 1 = 24 =
12
(4-2)!
2 x 1 2
2. Berapakah
banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang dapat kita susun
dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?
Pembahasan:
pertanyaan di atas dapat disimpulkan
sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur maka
dapat dituliskan sebagai P(5,2). tinggal kita masukkan ke dalam rumus.
P(5,2) = 5! = 5x
4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20
(5-2)!
3 x 2 x
1 6
Maka ada 20 cara yang dapat
dilakukan untuk menysyn bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda-beda
(48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 58, 53,
52).
3.
Hitunglah P
(5, 2)
Pembahasan:
P (5, 2) = 5!/(5-2)!
=
5!/3!
=
5 x 4 x 3!/3!
=
20
4. Banyaknya
bilangan yang terdiri atas 2 angka yang berbeda yang dapat disusun dari
angka-angka 3, 5, dan 7?
Pembahasan:
Banyaknya bilangan yang terdiri atas
2 angka berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7 adalah sama dengan
permutasi yang terdiri atas dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P(3, 2)
P (3, 2) = 3!/(3-2)!
= 3!/1!
= 3 x 2 x 1!/1!
= 2 x 3
= 6
Kombinasi
kombinasi merupakan sebuah kumpulan
dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam
kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua
objek yang sama.
Rumus kombinasi dari suatu himpunan
yang mempunyai n elemen dapat dituliskan sebagai berikut:
Rumus Kombinasi
C(n,r) = nCr = nCr =
n!
r!(n-r)!
Contoh Kombinasi
1. Manuel
Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad
Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama.
jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang
dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?
Pembahasan:
Karena tidak mementingkan posisi
pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:
16C11 =
16! = 16 x 15 x 14 x 13 x 12
x 11!
11!(16-11)!
11!5!
=
524160 = 524160 =
4368
5 x 4 x 3 x
2 x 1 120
2. Sebuah ember berisi 1 buah alpukat,
1 buah pir, 1 buah jeruk dan 1 buah salak. berapakah banyaknya kombinasi yang
tersusun dari 3 macam buah?
Pembahasan:
diketahui n = 4 dan r = 3, maka:
4C3 = 4! =
4 x 3 x 2 x 1 = 24
= 24 = 4
3!(4-3)! 3!1!
3 x 2 x 1 6
3.
Hitunglah C
(5, 2)
Pembahasan :
C (5, 2) = 5!/(5-2)!2!
=
5!/3! 2!
=
5 x 4 x 3!/3! 2!
=
5 x 4/2 x 1
=
20/2
=
10
4. Dari
3 siswa, yaitu Budi, Rendi, dan Rema akan dibentuk pasangan ganda bulu tangkis.
Berapa pasangan ganda yang dapat dibentuk dari ketiga siswa tersebut?
Pembahasan :
Banyaknya pasangan ganda bulu
tangkis yang dapat dibentuk adalah C(3, 2)
C (3, 2) = 3!/(3-2)! 2!
= 3!/1! 2!
= 3 x 2!/1! 2!
= 3/1
= 3
5. Dalam
babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu
kali. Banyaknya pertandingan yang terjadi adalah...
Pembahasan :
Dalam babak penyisihan, 25 pecatur
satu sama lain bertanding satu kali. Untuk menentukan banyaknya pertandingan
yang terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat urutannya lagi.
C (25, 2) = 25!/(25-2)! 2!
= 25!/23! 2!
= 25 x 24 x 23!/23! 2!
= 25 x 24/ 2 x 1
= 600/2
= 300
0 Response to "Permutasi dan Kombinasi"
Posting Komentar